Matrices de transformación

Esquema Ejemplo Matrices Transformación

Las matrices de transformación son una herramienta muy útil y muy utilizada para el cálculo de trayectorias y posicionamiento de brazos robots industriales. A continuación se dan las bases necesarias para poder obtener de forma sencilla estas matrices y poderlas aplicar a nuestro diseño. Para hacerlo utilizaremos el esquema típico de un robot industrial.

Para empezar nos hace falta definir un centro de coordenadas sobre el que relativizaremos la posición del resto de elementos, a este centro de coordenadas le llamaremos {0}. Por convenio y sencillez este sistema de referencia {0} se acostumbra a asociar al elemento de la base, por este motivo también se le reconoce como {B} (de Base 😉 ).

Una vez hemos ubicado la posición del sistema de referencia es necesario determinar en qué dirección apuntan sus coordenadas X, Y y Z. Quizás por la sencillez que después resulta, se acostumbra a asumir que el eje Z del sistema {B} apunta hacia el siguiente elemento móvil o articulación. En el caso de los ejes X e Y no existe ningún criterio ni restricción que las asigne a una dirección determinada.

Una vez tenemos clara la situación del sistema de referencia {0} o {B}, iremos colocando los que serán los diferentes sistemas de referencia para cada una de las articulaciones que forman parte del robot. En este caso las indicaciones serán:

  • El sistema de referencia {n} estará ubicado sobre el eje de rotación de la articulación n con la intersección con el siguiente elemento o bien con la transversal de una de sus componentes.
  • El eje Z corresponderá al eje de rotación, a la vez que en la medida de lo posible el eje X apuntará a la siguiente articulación.

Continuando con el sistema articulado que mostraba al inicio del post, la asignación de la posición de los diferentes sistemas de referencia resulta como se muestra en la siguiente imagen. Una vez hemos realizado la asignación ya podemos pasar a realizar las matrices de transformación.

Ejes Matrices Transformación

Para empezar daremos un vistazo a la notación que vamos a utilizar:

  • A la matriz de transformación entre el elemento i-1 y el elemento i la nombraremos: ^{i-1}_i T.
  • Al ángulo de rotación de los diferentes elementos o articulaciones utilizaremos la siguiente notación: ?_i.

El objetivo principal de las matrices de transformación es ser capaz de calcular la posición de cualquier elemento del brazo en función del sistema de referencia establecido en la base ( lo que hicimos al inicio {0} o {B} ). De esta manera la matriz más compleja y que acostumbra a ser la que buscamos, la matriz

^0_n T

Esta es la matriz de transformación entre el elemento n (que podría ser la punta de un dedo en el caso de un brazo) y la base. Por propiedades de la matriz de transformación, la matriz ^0_n T se puede calcular como un producto sucesivo de las matrices de transformación entre los elementos intermedios tal como:

^0_n T = ^{n-1}_n T · ^{n-2}_{n-1} T … ^0_1 T

Así pues, calcularemos cada una de las matrices de transformación que relacionan los elementos entre ellos de forma secuencial, para después, sacar la matriz de transformación que nos permitirá saber donde está el elemento mas extremo de nuestro sistema mecánico. Des esta manera podremos obtener la posición de cualquier parte de la estructura articulada de forma sencilla mediante las matrices intermedias, de lo contrario resultaría un cálculo complicado para realizar. Para dicho cálculo utilizaremos las siguientes operaciones:

  • a_{i-1} =dx_{i-1}(Z_{i-1},Z_i) ? Distancia del eje Z_{i-1} a el eje Z_i en la dirección del eje X_{i-1}
  • ?_{i-1} =?x_{i-1}(Z_{i-1},Z_i)  ? Desfase del eje Z_i sobre el eje Z_{i-1} respecto el eje X_{i-1}
  • d_i = dz_i(X_{i-1},X_i) ? Distancia del eje X_{i-1} al eje X_i en la dirección del eje Z_{i-1}
  • ?_i = ?z_i(X_{i-1},X_i) ? Desfase del eje X_i sobre el eje X_{i-1} respecto el eje Z_{i-1}

Una vez realizados estos cálculos podemos rellenar la matriz de transformación que define el cambio de sistema de referencia nombrado teniendo. Tened en cuenta para la siguiente matriz que:

  • cx representa el coseno del ángulo x.
  • sx representa el seno del ángulo  x.
  • el resto de parámetros son los que se extraen de las fórmulas anteriores aplicadas a los diferentes tramos de la estructura: de {0} a {1}, de {1} a {2}, …

Para que resulte más sencillo el ejemplo de aplicación, tomamos como ejemplo la matriz entre la base y el elemento 1, o lo que sería lo mismo, aplicar la fórmula matricial anterior para i=1. Lo he dejado basado en la notación de las fórmulas anteriores.

Por último tened en cuenta que muchos de estos valores que a simple vista parecen complicados de calcular, en muchos casos se simplifican dado que alguno de los ángulos será de 0, 90, 180 o -90 y muchos de estos valores pasarán a ser 0,1, -1 o valores proporcionales al tamaño de la pieza intermedia entre las articulaciones.

Saludos!

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